Grupy

Tento článek je pokračováním k článku o semigrupách.

Definice

Už jsme si vysvětlili, co jsou to grupoidy, semigrupy a monoidy. Nyní povýšíme ještě o jednu úroveň a definujeme grupu.

Monoid \((G; \cdot)\) nazveme grupou, pokud v něm funguje inverze. To znamená, že ke každému prvku \(x \in G\) existuje nějaký inverzní prvek \(x^{-1} \in G\) (ne nutně různý od \(x\)), pro který platí \(x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e\) (kde \(e\) je prvek identity, který máme již zahrnutý v definici monoidu).

Příklady

Pojďme zjistit, zda náš oblíbený grupoid \((\mathbb Z; +)\) je grupa. Již jsme si dokázali, že jde o monoid, kde prvkem identity je \(0\), takže nyní nám stačí dokázat, že v něm všechny prvky mají inverzi.

Vezměme si například \(x = 6\). Chceme-li najít inverzní prvek, řešíme rovnici \(6 + x^{-1} = x^{-1} + 6 = 0\). Řešením této rovnice je \(x^{-1} = -6\), a to je tedy inverzním prvkem ke zvolenému \(x\). Zároveň zřejmě podobným způsobem najdeme inverzi ke každému prvku \(x\), a sice \(-x\). Z toho plyne, že \((\mathbb Z; +)\) je grupa.

Povšimněme si, že inverzí \(0\) je opět \(0\). To platí pro prvek identity v každé grupě, neboť řešením rovnice \(e \cdot e^{-1} = e\) je právě \(e^{-1} = e\).

Jako druhý příklad zjistěme, zda \((\mathbb Z; \cdot)\) je grupa (kde \(\cdot\) tentokrát skutečně značí násobení). Dá se celkem snadno dokázat, že jde o monoid s identitou \(1\), takže nás opět zajímá hlavně inverze. Pokud si vybereme například \(x = -1\) a budeme k němu hledat inverzi, dostaneme se na rovnici \((-1) \cdot x^{-1} = 1\), která má řešení \(x^{-1} = -1\). Inverzi však musí mít všechny prvky, a pokud vybereme třeba \(x = -7\), rovnice \((-7) \cdot x^{-1} = 1\) už řešení v oboru celých čísel mít nebude. \((\mathbb Z; \cdot)\) tedy sice je monoid, ale grupa už ne.

Pokračujme nyní s příklady S2 a S4 z článku o semigrupách. (O grupoidu v příkladu S3 jsme zjistili, že není monoid, tudíž nemůže být ani grupa.)

S2

Máme množinu tří funkcí \(F = \{f(x),g(x),h(x)\}\) definovaných takto:

\[f(x) = x, \\ g(x) = 1-\frac{1}{x}, \\ h(x) = \frac {1}{1-x}. \\ D(f) = \mathbb{R} – \{0,1\}, \\ D(g) = \mathbb{R}-\{0\}, \\ D(h) = \mathbb{R}-\{1\}.\]

Již jsme dokázali, že \((F, \circ)\), kde \(\circ\) značí skládání funkcí, tvoří monoid s identitou \(f\). Také jsme si sestavili přehlednou tabulku:

\[\begin {array} {c|ccc} \circ & f(x) & g(x) & h(x) \\ \hline f(x) & f(x) & g(x) & h(x) \\ g(x) & g(x) & h(x) & f(x) \\ h(x) & h(x) & f(x) & g(x) \\ \end {array}\]

Máme-li takovouto tabulku, potom je velmi snadné určit, zda se jedná o grupu. Chceme, aby každý prvek měl inverzi, což neznamená nic jiného, než že v příslušném řádku najdeme prvek identity. Inverzní prvek poté nalezneme v záhlaví odpovídajícího sloupce. Musíme si však dát pozor na to, že při obrácení pořadí prvků musí také vyjít identita (grupa obecně nemusí být komutativní) — to již snadno v tabulce dohledáme.

V tomto konkrétním případě tedy zjistíme, že \(f^{-1} = f\), \(g^{-1} = h\) a \(h^{-1} = g\). Dokázali jsme, že \((F; \circ)\) je grupa.

S4

Zde máme algebraickou strukturu \(( (-c; c); \oplus)\) s nějakou konstantou \(c \in \mathbb R^+\) (v praxi jde o rychlost světla), kde operace \(\oplus\) je definována následovně:

\[u \oplus v = \frac{u+v}{1+{\frac{uv}{c^2}}}\]

Tu nejtěžší část máme již za sebou — dokázali jsme, že je to grupoid, semigrupa i monoid (s identitou \(0\)). Nyní máme daný nějaký prvek \(u\) a chceme k němu najít inverzi. To znamená, že řešíme rovnici:

\[\frac{u+u^{-1}}{1+{\displaystyle\frac{uu^{-1}}{c^2}}} = 0\]

Řešení je velmi jednoduché: obě strany rovnice vynásobíme jmenovatelem velkého zlomku. Ten nemůže být \(0\), protože jsme si již dokázali, že výraz je vždy definovaný. Dostaneme se tím na tvar \(u + u^{-1} = 0 \Longrightarrow u^{-1} = -u\). Tato inverze bude jistě ležet v nosné množině, neboť ta obsahuje vzájemně si odpovídající kladná a záporná čísla. Máme tedy dokázáno, že \(( (-c; c); \oplus)\) je grupa.

Věty

Nyní si dokažme pár zajímavých vět o grupách:

Věta: Každý prvek grupy má právě jednu inverzi.

Důkaz: Předpokládejme, že by jeden prvek \(x\) měl dvě různé inverze \(x^{-1}_1\) a \(x^{-1}_2\). Podle definice inverze můžeme psát:

\[xx^{-1}_1 = e = xx^{-1}_2\]

(Operaci grupy zde značíme jako násobení bez tečky.) Vynásobíme obě strany rovnice zleva \(x^{-1}_1\):

\[x^{-1}_1(xx^{-1}_1) = x^{-1}_1(xx^{-1}_2)\]

V grupě platí asociativita, takže můžeme přehodit závorky:

\[(x^{-1}_1x)x^{-1}_1 = (x^{-1}_1x)x^{-1}_2\]

Nyní můžeme opět uplatnit definici inverze:

\[ex^{-1}_1 = ex^{-1}_2\]

A nakonec použijeme definici identity:

\[x^{-1}_1 = x^{-1}_2\]

Tím jsme se dostali do sporu s předpokladem, že jsme vybrali dvě různé inverze. Věta tedy musí platit.

Věta: Každá grupa je kvazigrupa, tedy funguje v ní krácení a dělení. (Více informací o kvazigrupách najdete v našem článku o nich.)

Definice krácení: Pokud pro nějaká \(x, y, z \in G\) platí \(xz = yz\) nebo \(zx = zy\), potom \(x = y\).

Důkaz krácení: Začněme rovností \(xz = yz\). Obě strany vynásobíme zprava \(z^{-1}\) a máme \(xzz^{-1} = yzz^{-1}\). (Díky asociativitě není nutné zde psát závorky.) Poté podle identity máme \(x = y\). Podobně můžeme dokázat i druhou část, stačí násobit zleva místo zprava.

Definice dělení: Pro každé dva prvky \(x, y \in G\) existují dva prvky \(a, b \in G\) (ne nutně různé) takové, že \(ax = y = xb\).

Důkaz dělení: Zvolíme \(a = yx^{-1}\) a \(b = x^{-1}y\). Poté máme \(ax = yx^{-1}x = y\) a \(xb = xx^{-1}y = y\). Tím je důkaz hotov.

Tím zároveň víme, že každá grupa je lupa, neboť lupa je definována jako kvazigrupa s identitou a grupa samozřejmě má identitu.