Představte si, že k vám přijde nějaký Martin a řekne: „Pokud člověk upustí tužku, tužka bude padat směrem od země.“ Pravděpodobně se nejdřív zamyslíte, kde na takovou blbost přišel, ale rozhodnete se mu ukázat, že to není pravda. Vezmete tedy tužku, upustíte ji a hle — spadne směrem k zemi. Tím jste tedy dokázali, že řečená věta je skutečně nepravdivá a Martin vám musí dát za pravdu, že se mýlil, neboť zas tak hloupý není. Provedli jste experiment, fyzickou demonstraci jevu odehrávajícího se ve skutečném světě.
Nyní si představte, že s tím samým Martinem hrajete karetní hru Prší a on zahraje kulovou osmičku na srdcovou devítku. Nejspíš mu řeknete: „Tuhle kartu přece nemůžeš zahrát.“ A on odpoví: „Můžu, vždyť nevidíš, že jsem ji právě zahrál? Předtím ta tužka skutečně nespadla směrem od země, to je pravda, ale teď karta zcela jasně leží na stole.“ Naštěstí váš balík karet obsahuje i pravidla, takže je otevřete a čtete: „Karta se smí zahrát pouze na kartu stejné barvy nebo stejné hodnoty, s výjimkou, pokud jedna z karet je svršek.“ Zavřete pravidla a poznamenáte: „Tyhle karty nemají stejnou barvu ani hodnotu a ani jedna není svršek, takže tah je neplatný.“ Je vidět, že hra se řídí pravidly, která jsou zcela nezávislá na fyzické skutečnosti.
Ovšem Martin odvětí: „Proč se řídit nějakými pravidly? Pojďme pokračovat ve hře s tím, že můžeme vždy hrát jakoukoli kartu.“ Jelikož už se s ním nechcete dál hádat, přistoupíte na tuto nabídku. Brzy však oba zjistíte, že hra se náhle stala zcela nudnou a jednotvárnou. Martin se nakonec nechá přesvědčit, abyste se vrátili zpět k hraní s pravidly. Ovšem má nápad: co takhle přidat pravidlo, že pokud někdo zahraje osmičku, soupeř musí udělat osm kliků? Brzy zjistíte, že hra je stále hratelná a neztratí tím svoji zábavnost, jen se stane trochu fyzicky vyčerpávající. Z toho plyne, že pravidla existují z dobrého důvodu, ovšem to neznamená, že není možné hrát s jinými pravidly.
Matematika není věda*. Pokud matematik řekne, že všechna prvočísla kromě dvojky jsou lichá, nemůže to prokázat fyzickým experimentem.
Matematika je hra. Pokud matematik řekne, že všechna prvočísla kromě dvojky jsou lichá, může otevřít učebnici matematiky, kde najde nějaká „pravidla“, a následně logickými argumenty odvodí svoje tvrzení.
Matematika má několik základních pravidel, která se nazývají axiomy. Stejně jako pravidla Prší jsou velmi důležitá: bez nich by hra vůbec neměla smysl, protože by hráči mohli dělat cokoli. Z těchto pravidel se poté pomoci logických argumentů, které nazýváme důkazy, dají odvodit další tvrzení o tom, co se ve hře smí a co ne — takzvané věty.
Stejně jako v Prší můžeme tato pravidla měnit a někdy tím vznikne jiná zajímavá hra, zatímco jindy začne být dost o ničem. A ještě hůř — může se stát, že si pravidla budou vzájemně odporovat, a to nejenže povede ke zmatení hráčů, ale hru už vůbec nebude možné hrát. V matematice je proto nutné dbát na to, aby soustava axiomů, kterou používáme, byla konzistentní. Jinak si je můžeme upravovat, jak chceme, ovšem musíme počítat s tím, že ne vždy se to povede tak, aby to vedlo k něčemu zajímavému.
Ovšem proč to nezkusit? Například pokud v geometrii změníme známý axiom, který říká, že ke každé přímce existuje právě jedna rovnoběžka procházející daným bodem, dostaneme tím neeukleidovskou geometrii, která má spoustu fascinujících vlastností. Rozhodně vás žádný matematik nepřijde seřvat, že jste porušili posvátná pravidla — právě naopak! V tom spočivá kouzlo matematiky.
* Přesněji by se mělo říct, že matematika není přírodní věda. Existuje pojem „formální věda“, označující právě obory, jejichž výzkum se podobá hře, jak je v tomto článku popisováno.